医療過誤があった場合、医師や病院はどのような責任を負うことになるのですか。

大きく民事責任、刑事責任、行政責任を負います。
民事責任として、医師や病院は、患者が被った損害を賠償する責任を負う可能性があります。
刑事責任として、業務上過失致死傷罪に問われる可能性があります。
行政責任として、医師免許停止等の行政処分を受ける可能性があります。

裁判で争う場合、解決までにどのくらいの時間がかかりますか。

相手方の対応により解決までの時間はさまざまですが、第1審（地方裁判所）での裁判期間は全国平均で2年くらいです。

医療過誤の裁判で原告側が勝訴できる確率はどのくらいでしょうか。

患者側の主張が、全部または一部認められたものを「勝訴」と考えれば、勝訴率は平成18年は35.1％、平成19年は37.8％、平成20年は26.7％です。
なお、一般民事事件と比較しますと、一般民事事件では全部または一部原告の主張が認められたものが80％を超えていますので、医療過誤事件の勝訴率は、一般民事事件の半分以下となっています。
ただし、勝訴率は判決になった場合の統計であり、実際には判決まで行かず和解で解決する例も少なくありませんので、実質的にはもう少し高いと考えられます。

手術の際に承諾書を書きました。そこには「手術の結果について、後日、一切異議を述べません」と書かれていました。このような承諾書を書いた場合には、病院の責任は一切問えないのでしょうか。

承諾書を書いたからといって病院側の責任がなくなるわけではありません。手術ミスがあれば損害賠償を請求できます。
手術に際して病院宛に出される承諾書は、単に手術を受けることを了解したというだけの書面にすぎません。承諾書を提出してしまったからということで、損害賠償請求を諦める必要はありません。

医療過誤があったかもしれないと思い、説明を求めるため、病院へ行ったのですが、担当医師はすでに退職しており、説明できる者がいないとのことでした。このような場合、どうしたらよいでしょうか。

まず、病院側にカルテを見せて欲しいと求めてください。医師法により、カルテは５年間の保存が義務づけられていますので、担当医師が退職した後であっても、病院にはカルテが保存されているはずです。
そして、個人情報保護法に基づきカルテの開示を求めることができます。
また、このような場合には、裁判所に証拠保全の申立てをすることになります。 裁判所の証拠保全命令が出されますと、病院側は、カルテや診療録、レントゲン写真等の重要な記録を開示しなければならなくなります。